Сидней Беше родился и вырос в небогатой, музыкальной негритянско-креольской семье, проживавшей во французском квартале Нового Орлеана. От своих европейских предков Беше унаследовал светлый цвет кожи. Все его братья (их было четверо) умели играть на каком-либо инструменте. С малых лет проявил склонность к музыке. Под влиянием отца, который был по профессии портным и любил музицировать в домашнем кругу, и старшего брата Леонарда (зубной техник, в Новом Орлеане пользовался известностью как кларнетист и руководитель любительского оркестра) Беше начинает с 6 лет систематически заниматься музыкой, осваивая кларнет. С 8 лет обучается игре на кларнете частным образом у Лоренцо Тио старшего (Lorenzo Tio), Луи Нельсона (Big Louis Nelson) и Джорджа Бэкета (George Baquet), при этом значительную часть времени уделяя самообразованию. Его успехи были столь значительны, что уже в раннем возрасте (1910 год) он играет в крупных городских джазовых ансамблях и даже обучает других игре на кларнете (среди его учеников — Джимми Нун, который был старше его на два года). В те годы Сидней Беше выступает с ансамблем Фредди Кеппарда, играет у Бадди Болдена (вместе с Банком Джонсоном), в известном тогда Olympia Band и в 1911 году в Eagle Band (в одно время с Кингом Оливером, Фредди Кеппардом, Джимми Нуном, Банком Джонсоном, Мэттом Кэри). Затем последовали выступления с составами Джека Кэри («Crescent Band»), Ричарда М.Джонсона и Бадди Пти, с 1913 года — с ансамблем Кинга Оливера. Выезжает на гастроли по Техасу и Калифорнии с ансамблем Кларенса Уильямса и Луиса Уэйда, сотрудничает с Кидом Ори и совершает турне с оркестром Динка Джонсона. В 1916 году Беше покидает Новый Орлеан и отправляется странствовать (привычка, оставшаяся у него на всю жизнь), играя в передвижных шоу и странствующих цирковых труппах на Юге США и Среднем западе.

В 1917 году Беше перебирается в Чикаго, где работает в оркестрах, возглавляемых новоорлеанскими пионерами джаза (среди них Фредди Кеппард, Кинг Оливер, Лоуренс Дюше (Lawrence Duhe)).

В 1919 году попадает в большой эстрадный оркестр Уилла Мэриона Кука Southern Syncopated Orchestra. Оркестр играл в основном популярную музыку с письменными аранжировками и с небольшим количеством импровизационного материала. Беше в этом составе был главным солистом при исполнении блюзов. С этим оркестром он совершил концертную поездку по Европе, где получил одобрительный отзыв о своей игре от знаменитого дирижёра Эрнеста Ансерме. Услышав игру оркестра в Лондоне, швейцарский дирижёр в многократно перепечатанной статье охарактеризовал Беше как «выдающегося кларнетиста-виртуоза» и «гениального артиста»